Родился в Пятигорске. В начале 1970-х годов переехал в Ленинград. Обучаясь в «английской» спецшколе, стал интересоваться западной рок-музыкой. Начиная со старших классов играл в самодеятельных рок-группах. По окончании школы поступил (со второй попытки) на английское отделение филологического факультета Ленинградского университета им. Андрея Жданова (1980). В феврале-марте 1984 года вместе с двумя музыкантами, ранее игравшими с ним в арт-рок-группе «Озеро», основал новую рок-группу, получившую название «Телевизор».
В мае того же 1984 года «Телевизор» становится одним из лауреатов II Ленинградского рок-фестиваля, а Михаил Борзыкин признается фестивальным жюри лучшим автором текстов песен. Летом 1984 года был отчислен с четвёртого курса ЛГУ с формулировкой «за академическую неуспеваемость» и с тех пор целиком посвятил себя занятию рок-музыкой.
В 1986 году, ещё задолго до реального начала горбачёвской перестройки, Борзыкин стал первым отечественным рок-музыкантом, начавшим исполнять так называемые «незалитованные» (то есть не разрешенные властями к публичному исполнению) песни, тексты которых имели ярко выраженную остросоциальную, протестную — и, по сути, совершенно антисоветскую направленность. Песня Михаила Борзыкина «Твой Папа — Фашист», впервые прозвучавшая со сцены в феврале 1987 года и посвящённая Михаилом Борзыкиным тогдашнему Генеральному секретарю ЦК КПСС Михаилу Горбачёву, на многие последующие годы стала «визитной карточкой» группы «Телевизор».
Вся последующая жизнь и деятельность Михаила Борзыкина неразрывно связана с его группой. В истории «Телевизора» бывали моменты, когда Борзыкин де-юре оставался его единственным участником; при этом он никогда официально не объявлял о распаде группы.
В настоящий момент Михаил Борзыкин вместе со своей группой регулярно дает концерты — в основном, в Санкт-Петербурге и в Москве.
25 апреля 2009 года «Телевизор» отметил своё 25-летие большим сольным концертом в Санкт-Петербурге, в котором приняли участие также и музыканты из прежних его составов: Александр Беляев (гитарист из первого состава), Алексей Рацен (барабанщик из второго состава) и Константин «Кот» Шумайлов (клавишник из третьего состава, игравший также с Михаилом Борзыкиным дуэтом в середине 1990-х годов). В тот же день в продажу в Санкт-Петербурге и в Москве поступил новый студийный альбом под названием «Дежавю» — первый за последние четыре года.
В 2010 году вышел в продажу первый DVD группы «ХХV лет в одной лодке», записанный на концерте в ДК Ленсовета 25 апреля 2009 года. 17 апреля 2010 года в петербургском клубе «Орландина» состоялся концерт-презентация нового релиза. Летом 2010 года Михаил Борзыкин принимает участие в вручении премии «Степной Волк» в ЦДХ в Москве, открытом концерте в Ярославле. Михаил Борзыкин — участник маршей несогласных и «Стратегии-31».